Mulți studenți care studiază matematică superioară în ultimii ani se întrebau probabil: unde sunt aplicate ecuațiile diferențiale (DE) în practică? De regulă, această problemă nu este discutată în prelegeri, iar profesorii trec imediat la rezolvarea DE fără a explica elevilor aplicarea ecuațiilor diferențiale în viața reală. Vom încerca să umple acest gol.
Să începem prin definirea unei ecuații diferențiale. Deci, o ecuație diferențială este o ecuație care conectează valoarea derivatei unei funcții cu funcția însăși, valorile variabilei independente și unele numere (parametri).
Cea mai comună zonă în care se aplică ecuații diferențiale este descrierea matematică a fenomenelor naturale. Ele sunt, de asemenea, utilizate în rezolvarea problemelor în care este imposibil să se stabilească o relație directă între unele valori care descriu un proces. Astfel de probleme apar în biologie, fizică, economie.
În biologie:
Primul model matematic semnificativ care descrie comunitățile biologice a fost modelul Lotka - Volterra. Descrie o populație de două specii care interacționează. Primul dintre ei, numit prădători, în absența celui de-al doilea, se stinge conform legii x ′ = –ax (a> 0), iar al doilea - pradă - în absența prădătorilor se înmulțește la nesfârșit în conformitate cu legea de Malthus. Interacțiunea acestor două tipuri este modelată după cum urmează. Victimele se sting cu o rată egală cu numărul de întâlniri de prădători și pradă, care în acest model se presupune că este proporțională cu mărimea ambelor populații, adică egală cu dxy (d> 0). Prin urmare, y ′ = by - dxy. Prădătorii se reproduc cu o rată proporțională cu numărul de pradă mâncată: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Sistem de ecuații
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = de - dxy, (2)
prădătorul-pradă care descrie o astfel de populație se numește sistemul (sau modelul) Lotka-Volterra.
În fizică:
A doua lege a lui Newton poate fi scrisă sub forma unei ecuații diferențiale
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), unde m este masa corpului, x este coordonata acestuia, F (x, t) este forța care acționează asupra corpului cu coordonata x la momentul t. Soluția sa este traiectoria corpului sub acțiunea forței specificate.
În economie:
Model de creștere naturală a producției
Vom presupune că unele produse sunt vândute la un preț fix P. Fie Q (t) să indice cantitatea de produse vândute la momentul t; atunci, în acest moment, venitul este egal cu PQ (t). Să se cheltuiască o parte din venitul specificat pentru investiții în producția de produse vândute, adică
I (t) = mPQ (t), (1)
unde m este rata investiției - un număr constant și 0
